Lissage (mathématiques)

Le lissage est une technique qui consiste à réduire les irrégularités et singularités d'une courbe en mathématiques. Cette technique est utilisée en traitement du signal pour atténuer ce qui peut être considéré comme une perturbation ou un bruit de mesure.

Le lissage est une méthode de régression, en général de régression non paramétrique.

Comparaison avec l'ajustement de courbe

Le lissage peut se distinguer de l'ajustement de courbe, bien que les principes soient semblables :

l'ajustement de courbe implique souvent l'utilisation d'une fonction explicite appliquée aux données, alors que les résultats obtenus par lissage sont une forme "régularisée" des valeurs sans réutilisation de la fonction de lissage ;
l'objectif du lissage est de donner une représentation des tendances lentes d'évolution des données sans s'attacher à suivre les valeurs, alors que l'ajustement de courbe cherche au contraire à en être aussi proche de possible ;
le lissage va dépendre d'un seul paramètre de contrôle qui va étendre ou réduire l'intensité du processus, alors que l'ajustement de courbe va se baser sur les données seules pour trouver la "meilleure" forme.

Filtrage linéaire

Dans le cas où les valeurs lissées peuvent être écrites comme une transformation linéaire des données observées, l'opération de lissage est alors appelée filtrage linéaire ; la matrice de la transformation est alors appelée matrice de lissage ou matrice de projection.

Une telle transformation linéaire est appelée convolution, ainsi la matrice est aussi appelée matrice de convolution ou noyau de convolution. Dans le cas de série vectorielle (au lieu d'une image multi-dimensionnelle), le noyau de convolution est un vecteur unidimensionnel.

Algorithmes de lissage

L'un des algorithmes les plus courants est la moyenne mobile, souvent utilisée pour tenter de saisir des tendances importantes dans des enquêtes statistiques répétées. Dans le traitement de l'image et la vision par ordinateur, les idées de lissage sont utilisées dans les représentations de l'espace d'échelle. L'algorithme de lissage le plus simple est la moyenne glissante rectangulaire ou moyenne glissante non pondérée, qui remplace chaque point du signal par la moyenne de m points adjacents, où m est un nombre entier positif, le plus souvent impair, appelé « largeur du lissage ». Le lissage triangulaire est semblable au lissage rectangulaire, sauf qu'il met en œuvre une fonction de lissage pondérée.

Voici quelques types de lissage et de filtre spécifiques, avec leurs utilisations, avantages et inconvénients respectifs :